作为三维生物的你可否想象(脑补)出四维空间的样子是什么体验?

幻思系 2018-08-04 08:55:04

@幻思系报道

对于我们这样生活在三维空间的三维物种来说,要想象四维空间的样子是十分困难的。为了让你的三维大脑对四维空间产生一些模糊的感受,一个好办法就是让一位生活在二维空间中的扁片人来到三维空间,体验一下不同维度下的感受。我们不妨也从这个角度开始分析吧。

A先生是一位生活在二维空间中的扁片人。我们邀请他参与回答这个问题的目的是为了分析三维人进入四维空间后的体验,所以我们假设A先生拥有和我们相似的能力。比如,虽然他的眼睛只能看见二维空间中的线条,但是他可以通过明暗、透视和双眼视差等方法感受二维物体的形状。这一切都由他的二维大脑完成。

当A先生观察这个正方形的时候,他的双眼看到的图像是不一样的。

他的大脑可以把两个不同的图像组合起来,试图理解这个二维图形的形状。这个过程和三维人类大脑通过视网膜上的二维投影来理解三维世界是一样的。

现在,我们把A先生从二维空间中拎出来,放到三维空间中,并赋予他在三个维度上自由移动的能力。

虽然A先生来到了三维世界,但他仍然是一个二维的扁片人。他的一切生理结构,包括眼睛和大脑,都是为了适应二维世界而设计的。所以,他的眼睛还是只能看到点和线;他的大脑还是只能识别二维图形。我们可以认为,A先生还是处于一个虚拟的二维空间中(下图中的浅绿色平面),只不过这个二维空间可以跟着他在三维空间中移动。

现在,A先生面对一个长方体。他看到的实际上是这个长方体和虚拟的二维平面相交的部分,也就是一个长方形(上图中的黄色图形)。

如果A先生在第三维(z轴)上移动,他会发现那个长方形也跟着他移动,而且大小和形状都不不变。如果A先生在三维空间中旋转(以y轴为中心),他会发现面前的长方形大小不断改变。这种情况无疑会使A先生和读者们感到十分无趣,所以,我们给他一个复杂一点的场景。

这次,A先生来的一个立方体面前,并且让他的虚拟二维平面和立方体的对角线EC(下图中的绿色虚线)垂直。

然后,A先生沿着对角线EC移动。在移动过程中,虚拟二维平面会和立方体的顶点相交。这时平面切割立方体形成的图形十分关键,它决定了在整个移动过程中,A先生会看到什么图形。

1. 首先,平面和E点相交。A先生会看到他的平面上出现一个点。然后,这个点扩展成一个三角形,并逐渐变大。

2. 当平面和顶点A、H、F相交时,A先生看到的图形是三角形AHF。

3. 当平面和顶点B、D、G相交时,A先生看到的是倒立的三角形BDG。

4. 最后,平面和顶点C相交。A先生看到的图形重新变成一个点。

5. 所以,在这4个瞬间,A先生看到的分别是以下4个图形。

而在这4个瞬间之间,图形会平滑变形,比如,从点变成三角形,从正放的三角形变成倒立的三角形。

闲话休提,书归正传,我们还是来看看你进入四维空间后,会看到什么情景吧。和A先生一样,虽然你进入了四维空间,但是你仍然是一个三维的人,无法看见四维物体。你也存在于一个虚拟的三维平面内,只能看见四维物体与这个平面相交形成的三维图形。

注:这里的“平面”是指比空间维度少一维的形状。在三维空间中,平面是二维的。在四维空间中,平面是三维的。我们不妨牵强附会地把它叫做三维平面吧。

要从上面的分析推导出四维空间的情形,我们需要一个简单的工具:帕斯卡三角(帕斯卡三角形(三角形矩阵)_百度百科)。想必多数人对这个名字都不会陌生。

帕斯卡三角中隐藏了一个秘密:多维立方体被低维平面沿着对角线方向切割时,会产生什么图形?比如,我们上面对三维立方体进行了分析,得到了4个图形,它们的顶点数分别是1、3、3、1。这4个数字就藏在帕斯卡三角的第三行。

要想知道四维的超立方体被三维平面切割会产生什么图形,我们只需要看看帕斯卡三角的第四行。它包括5个数字:1、4、6、4、1。所以,在这个过程中,你会看到下面这些图形。

1. 首先,你会看到一个点。

2. 这个点在三个维度上膨胀,变成一个4个顶点的三维图形:正四面体(tetrahedron)。

3. 然后,正四面体会逐渐变成一个6个顶点的三维图形:正八面体(octahedron)。

4. 下一步,正八面体会重新变形成为4个顶点的正四面体。

5. 最后,正四面体收缩成一个点,并最终消失。

也许你想挑战一下自己的空间想象能力,那么不妨看看帕斯卡三角的第五行,想象一下五维的超立方体被四维平面切割会是什么情景。

也许你会发现上面描述的过程和一个超立方体穿越你的三维空间实际上是一样的。那么,我们还有什么必要亲自去四维空间走一趟。待在家里等着一个四维物体从我身边经过就行了。

其实,这两种情况还是有区别的。

比如,A先生只能直接看到他的虚拟二维平面中的图形。然而,来自第三维度的光线也会从不同的方向进入这个平面,甚至直接落在他的视网膜上。对于身在四维空间中的你也同样如此。这些光绕过了晶状体,无法成像,所以你会看到一些难以名状光怪陆离的光影。

另外,如果你真的得到了一张体验四维空间的入场券,在启程之前请一定要三思,因为这实际上是一张通向地狱的门票。我们还是请扁片人A先生来做一个演示吧。

当A先生在他的二维家乡的时候,他所有的内脏都稳稳当当的安放在体内,没有任何危险。当他来到三维空间时,他的内部结构在第三维上完全暴露在外了。如果你进入四维空间,相同的事情也会发生在你身上。没有什么东西能够阻止你的内脏在第四维方向上掉出体外。由于内脏大多数是相互连接的,所以它们大概不会稀里哗啦滚落一地。不过它们晃晃悠悠的挂在体外的时候,应该无法执行它们正常的功能了。不要去细想这是一幅什么样的场景。我看过的恐怖片也没有一部达到这个血腥程度。如果一个四维的智慧生物看到这一幕,估计够他做几天噩梦。

这还不算完。你体内的液体也会迅速从第四维方向流出来。而剩余的少量液体也会由于充分接触空气而很快蒸发掉。所以,你应该没有时间去欣赏四维空间的奇妙景象了。如果古埃及人发现了四维空间的秘密,估计会把它当成快速制作木乃伊的捷径。不过我们这样的三维凡夫俗子还是老老实实地坐在家里,期待有一天一个超立方体从眼前经过吧。

另外,其实四维空间并不如科幻小说中想象的那样美好,很多三维空间的宏观或者微观结构在四维空间将变得不稳定,因为引力和电磁力会按立方反比衰减。所以,尽管不能完全想象四维空间的样子,但是大概可以想象出四维宇宙的样子——一锅杂乱无章的基本粒子稀汤。

这个道理其实很简单,大学多元微积分级别的知识就能理解,引力场和电磁场(静电场)在三维空间中,按照高斯定理(矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分),对于这两个场有:穿过一封闭曲面的电通量/引力通量与该曲面包围的电荷/质量成正比。或者换种说法也一样,电场强度/引力场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷/质量成正比。

然后我们考虑一个以场源(点电荷、质点)为球心的球面,这样的话场在封闭球面上的面积分就是场强与球面的面积的乘积,对于同一个场源来说这个乘积就是一个定值。当然,稍有常识的人都能看出,三维空间中二维球面的面积是4πR^2,既然面积与半径/距离的二次方成正比,那场强自然需要与半径/距离的二次方成反比才能保证高斯定理成立。——这就是万有引力定律和库仑定律是平方反比形式的数学原因

当然,高斯定理也能推广到高维空间,对于四维空间来说,其当中的“球面”是三维超球面,其“超表面积”自然与半径的立方成正比(英文维基的图片公式刷不出来,我真是日了椛了),那么同样的,场强就需要与半径的立方成反比才行。所以,四维空间中,万有引力定律和库仑定律是按照立方反比形式工作的。

别看从平方反比到立方反比这么一点小小的变化,这将使行星和恒星的轨道不再稳定——更可能的是,星际尘埃根本无法形成天体。再进一步,电磁力的立方反比也将导致(我们熟悉的)原子及原子核尺度的微观结构不复存在,四维宇宙中,可能除了一盘散沙般的基本粒子无规则运动着充满着空间就什么都没有了。

感谢这个平方反比定律主导的三维宇宙吧。




来源:知乎



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